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晴空一鹤

莫言下岭便无难,赚的行人错喜欢;正入万山圈子里,一山放过一山拦。

 
 
 

日志

 
 

试题选解(学会分类讨论,全面考虑问题)  

2014-03-14 14:42:57|  分类: 试题集锦 |  标签: |举报 |字号 订阅

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湖北省教学研究室编著的八年级下学期数学同步练习册《长江作业本》P31面的第24小题:

     Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A,B的一点,且∠ACP=30°,求PB的长。

  解:分两种情况考虑:

当∠ABC=60°时,如图所示:

试题选解(学会分类讨论,全面考虑问题) - 晴空一鹤 - 晴空一鹤


∵∠CAB=90°,

∴∠BCA=30°,又∠PCA=30°,

∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°,又∠ABC=60°,

∴△PCB为等边三角形,又BC=4,

∴PB=4;

当∠ABC=30°时,如图所示:

试题选解(学会分类讨论,全面考虑问题) - 晴空一鹤 - 晴空一鹤


(i)当P在A的左边时,如图所示:

∵∠PCA=30°,∠ACB=60°,

∴∠PCB=90°,

又∠B=30°,BC=4,

∴cosB=BC/PB,即cos30°=4/PB,

解得:PB=4/(√3 / 2)=(8√3)/3;

(ii)当P在A的右边时,如图所示:

∵∠PCA=30°,∠ACB=60°,

∴∠BCP=30°,又∠B=30°,

∴∠BCP=∠B,

∴CP=BP,

在Rt△ABC中,∠B=30°,BC=4,

∴AC=1/2BC=2,

根据勾股定理得:√AB=√(BC?-AC?)=2√3,

∴AP=AB-PB=2√3-PB,

在Rt△APC中,根据勾股定理得:AC?+AP?=CP?=BP?,

∴2?+(2√3-BP)?=BP?,

解得:BP=(4√3)/3,

综上,BP的长分别为4或(4√3)/3或(8√3)/3

故答案为:4或(4√3)/3或(8√3)/3



 

                                                  

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