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晴空一鹤

莫言下岭便无难,赚的行人错喜欢;正入万山圈子里,一山放过一山拦。

 
 
 

日志

 
 

试题选解  

2014-12-16 15:06:14|  分类: 试题集锦 |  标签: |举报 |字号 订阅

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《课易通》三维数字课堂九年级数学全一册P78精彩一题:
1)观察与思考:如图①,已知⊙O的半径为R(常数),当⊙O与直线AB切于点A时,将⊙O沿直线AB滚动(无滑动)一周到点B,则圆心O移动的距离是________;
2)实验与计算:如图②③,当⊙O与边长等于⊙O周长的三角形或正方形的一边相切时,将⊙O沿正三角形或正方形周边滚动(无滑动)回到初始位置,分别求出圆心O移动的路程;
3)探究与推广:一般地,将(2)中的“正三角形或正方形”改为正n边形,其他条件和操作要求不变,求圆心O移动的路程snn为大于等于3的整数)之间的关系.
试题选解 - 晴空一鹤 - 晴空一鹤
 

【解析过程】

(1)解:∵半径为R的⊙O沿着直线滚动一周,
∴圆心移动的距离等于圆的周长,即2πR,
(2)解:如图②,圆在AC、CB、BA三边作无滑动滚动时,
∵等边三角形的边长与圆的周长相等,
∴圆转了3圈,
而圆从一边转到另一边时,圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数,
圆心要绕其三角形的顶点旋转120°,
∴圆绕三个顶点共旋转了360°,即它转了一圈,
∴圆回到初始位置时,共转了4圈.
∴圆心移动的距离等于圆的周长的4倍,即8πR,
如图③,圆在正方形四边上作无滑动滚动时,
∵正方形的边长与圆的周长相等,
∴圆转了4圈,
而圆从一边转到另一边时,圆心绕正方形的一个顶点旋转了正方形的一个外角的度数,
圆心要绕其正方形的顶点旋转90°,
∴圆绕四个顶点共旋转了360°,即它转了一圈,
∴圆回到初始位置时,共转了5圈.
∴圆心移动的距离等于圆的周长的5倍,即10πR,
(3)圆在正n边形n条边上作无滑动滚动时,
∵正n边形的边长与圆的周长相等,
∴圆转了n圈,
而圆从一边转到另一边时,圆心绕正n边形的一个顶点旋转了正n边形的一个外角的度数,
圆心要绕其正n边形的顶点旋转,
∴圆绕n个顶点共旋转了360°,即它转了一圈,
∴圆回到初始位置时,共转了(n+1)圈.
∴圆心移动的距离等于圆的周长的(n+1)倍,即2(n+1)πR,

【答案】

(1)2πR;(2)8πR,10πR;(3)2(n+1)πR

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