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晴空一鹤

莫言下岭便无难,赚的行人错喜欢;正入万山圈子里,一山放过一山拦。

 
 
 

日志

 
 

精选22  

2012-06-09 17:14:29|  分类: 试题集锦 |  标签: |举报 |字号 订阅

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已知:如图,三个半圆彼此相外切,它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y= √3/3x相切,设半圆C1、半圆C2、半圆C3…的半径分别是r1、r2、r3…,则当r1=1时,则r2012=(  )

精选22 - 晴空一鹤 - 晴空一鹤

 

分析:设三个半圆与直线OC分别相切于A、B、C点,分别连接圆心与切点,根据切线的性质得到三个直角三角形,再由直线OC的方程得到直线的倾斜角为30°,根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到OC1=2C1A,0C2=2C2B,0C3=2C3C,再由三半圆彼此外切,得到相两圆的圆心距等于两半径相加,得出r1、r2、r3间的关系,由r1的值可得出r2、r3的值,按照此规律可归纳出r2012的值.

精选22 - 晴空一鹤 - 晴空一鹤

 

【解答】:连接C1A,C2B,C3C,
∵三半圆都与直线OC相切,
∴C1A⊥OA,C2B⊥OB,C3C⊥OC,
又∵三个半圆依次与直线y=√3/3x相切并且圆心都在x轴上,
∴y=√3/3x的倾斜角是30°,
又∵三半圆彼此相外切,
∴OC1=2C1A=2r1,0C2=2C2B=2r2=OC1+r1+r2=3r1+r2,0C3=2C3C=OC1+r1+2r2+r3=2r3
∴2r2=3r1+r2
∴r2=3r1
∵r1=1=30,∴r2=3=31
∴OC1=2,0C2=2r2=6r1=6,0C3=18,
∴r3=9=32
∴按此规律归纳得:rn=3n-1
则r2012=32011

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