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晴空一鹤

莫言下岭便无难,赚的行人错喜欢;正入万山圈子里,一山放过一山拦。

 
 
 

日志

 
 

精选18  

2012-05-25 09:36:42|  分类: 试题集锦 |  标签: |举报 |字号 订阅

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《2012年《学在荆州》数学中考总复习P94页第7题:如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D.
(1)求抛物线的解析式与顶点D的坐标;
精选17 - 晴空一鹤 - 晴空一鹤
 
(2)以B,C,D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】:解:(1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
由抛物线与y轴交于点C(0,-3),可知c=-3.
即抛物线的解析式为y=ax2+bx-3把A(-1,0)、B(3,0)代入,
a-b-3=0①
9a+3b-3=0②

①×3+②得3a-3b-9+9a+3b-3=0,即12a=12,
解得a=1,b=-2.
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3;
精选17 - 晴空一鹤 - 晴空一鹤
 
(2)∵y=x2-2x-3
=(x2-2x+1)-4,
=(x-1)2-4,
∴顶点D的坐标为(1,-4);
连接AC,
易得:CD= √2,BC=3√2 ,BD=2√5 ∴CD2+BC2=BD2
∴△BCD为直角三角形。且BD为斜边,∠BCD=90°。
 
(3)可知Rt△COA∽Rt△BCD,得符合条件的点为O(0,0)
过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1,可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD,
求得符合条件的点为P1(0,1/3)
过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2,可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD,
求得符合条件的点为P2(9,0).
∴符合条件的点有三个:O(0,0),P1(0,1/3) ,P2(9,0).
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