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关注最短路线问题

2012-04-24 22:49:36| 分类：试题集锦 | 标签： |举报 |字号大中小订阅

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如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧 $公式图片$ 的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值_______

．

考点：垂径定理；轴对称-最短路线问题．

专题：动点型．

分析：本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．

解答：解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=30°，

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=1，
∴A′B= $公式图片$ ．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B= $公式图片$ ．
故答案为： $公式图片$ ．

点评：本题结合图形的性质，考查轴对称--最短路线问题．其中求出∠BOC的度数是解题的关键．

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